從0和1開始造一台電腦2-電腦如何運算/2補數/加法器/ALU

註:本文為From Nand to Tetris 課程學習筆記,目的為總結個人所學。如有點閱,請謹慎參考。

人類是高等動物,具有邏輯思考能力,所以我們使用文字和阿拉伯數字來傳遞信息。

但是有很多場合,當無法用文字和數字來處理信息時,也會用二進制來傳遞或處理信息。

二進制是最簡單的溝通語言

比如:

  • 烽火

烽火有兩種狀態,點燃為1,表示有敵人來犯;沒點燃為0,表示沒有敵人。所以總共有2^1=2種。

  • 盲文

盲文是用突起的點和不突的點來表示信號,但是只有2種遠不夠我們表達,所以使用6種,這樣總共有2^6=64種不同的方式,足夠表達26個字母和10個數字等等。

source:wiki
  • 摩斯密碼

摩斯密碼使用點和長線這兩種基本元素來表示信息,比如SOS的表示法是三點三線三點,如果在夜晚使用手電筒來打SOS求救的話,就是亮三次短的(S),再亮三次長的(O),在亮三次短的(S)。

5位的摩斯密碼總共有2^1+2^2+2^3+2^4+2^5=2+4+8+16+32=62種不同的組合,表示字母和數字足夠了。

source:https://en.wikipedia.org/wiki/Morse_code

  • Punched card(打孔卡),是利用機器在一張紙卡上用打洞和不打洞來表示信息。基本的構成也是二進制。
IBM 96-column punched card

電腦為什麼使用二進制

電腦遠遠沒有人類聰明,給電腦使用簡單易懂的二進制是最適合的選擇。

1.二進制是傳遞信息最小的進制

比二進制還小的進制就只有一進制了,但是一進制始終只有一種狀態,無法溝通。

比如點頭和搖頭是二進制,就算不會講話,只靠點頭和搖頭就可以基本溝通。但是如果只有一種點頭,顯然無法溝通。

2.不容易出錯

二進制只有兩種狀態,非此即彼,不容易出錯。

比如烽火,只有點或不點,沒有模糊不清,可以保證信息有效傳遞。設想電腦每秒運行兆次,要保證中間沒有任何差錯。

3.二進制和電流電路相聯繫

電腦是電器,靠的是電流的流動。沒有電流的流動,再精密的電腦也成一堆廢鐵。

電流只有兩種狀態,就是通電和斷電。通電表示1,斷電表示0。開表示0,關表示1。

比如上篇文章提到的NAND 邏輯閘。兩個輸入都是斷電(0)時,結果是通電(1)。

NAND gate示意圖,source:CODE

真值表:

NAND01
011
110

4.二進制計算簡單

乘法實際上是加法,除法實際上是減法,減法實際上是加個負數,所以只要有加法計算和負數表示兩點,就可以實現所有的基礎運算。

而我們設定電腦中負數使用2的補碼+1的方式來表達。所以負數的表示也變成了加法。

所以,只要有加法就有了一切的基本運算。

而二進制的加法也最簡單,只有0+0,0+1,1+1三種。

所以,我們利用電腦強大的運算能力,用二進制,從最簡單的0和1(開和關),最後形成聯繫數十億人的有史以來最大的交流網絡。就像道德經裡說的:大道至簡,衍化至繁。

用二進制表示數字

像在摩斯密碼中用3個點表示S一樣,我們可以給電腦規定如何表示數字。

如果只有3個位元,總共有8種組合,可以用規定如下表達方式:000(0),001(1),010(2),011(3),100(4),101(5),110(6),111(7)。

如果有8個位元,總共可以表示2^8=256個組合。

我們可以用這256個組合來表示全部的正整數(0到255),這樣就是unsigned。

也可以用這256個組合來表示正數和負數,這樣就可以表示(-128到127),這樣叫做signed,意思是第一位可以視為符號位。

負數表示法-2’s complement

我們想怎麼表示負數都可以,但是怎麼設計負數的表示法來讓運算更加方便呢?

電腦系統採用”1補數+1“即2補數來表示負數。在2進制中,1的補數是1,1的補數是0。轉化成10進制,就是對9取補數,5的補數是4,3的補數是6等等。

使用此方法主要是為了讓減法更方便運算,避免借位問題。另外2進制中取反即是相反數,用一個反向器(NOT gate)即可實現。

比如1+(-1)=0,1的8位元二進制是表示是0000 0001,先計算1的補數即每一位取反:1111 1110。

0000 0001+1111 1110 = 1111 1111 答案並不是0。

想要讓答案是0,必須再加1,也就是變成1 0000 0000,最高位是overflow,超出8位元之外,自動捨棄。先取1的補數再加1,這樣就是2補數。這樣減法操作起來更簡單,減一個正數就變成加上負數。

CODE(The Hidden Language of Computer Hardware and Software)這本書的第13章有更詳細說明為什麼用2補數來表示負數。

下面用10進制來幫助理解,比如要計算81-37,個位數1減9不夠減,涉及到借位,這增加了複雜度。為了避免借位,那就用:

81-37+99+1-100

可以變成81+( (99-37)+ 1 ) - 100

99-37=62,即對3和7取9的補數,3的補數是6,7的補數是2。所以十進制中-37的表示法就是9的補數再加1在減100。

81+(62+1)-100 =44

轉換成二進制的話,81的2進制是101 0001,37的2進制是010 0101。

81+( (99-37)+ 1 )-100 變成(十進制最大數字9,二進制最大數字1)

101 0001 - 010 0101 +(111 1111 +1 )-1000 0000

101 0001+(111 1111-010 0101+1)- 1000 0000

=101 0001 +(101 1010 +1) -1000 0000

=101 0001 +101 1011 - 1000 0000

=1010 1100 -1000 0000

=010 1100 即10進制的44。

所以所謂的2補數表示負數的方法,後面還有一個捨棄最高位overflow的問題。

81-37=
81+(-37)=
81+(-37)+99 +1 -100=
81+(99-37)+1-100=
81+(((99-37)+1)-100)

即(-37)=(((99-37)+1)-100)

其中(99-37)+1)即是9的補數加1,-100即是捨棄最高位overflow。

所以,因為電腦會自動捨棄overflow的位元,所以我們才可以理所當然的使用1補數加1來表示負數。

小結:

負數等2補數很難理解,就是因為沒注意到電腦的特性自動會最高位overflow。

正確的表達應該是負數等於”1的補數+1-最高位overflow“,因為最高位自動會overflow,所以負數的簡化表達即是”1的補數+1簡稱”2補數“。

加法如何計算-半加器/全加器/16位加法器

電腦也叫計算機,其最大的能力就是計算。蘋果最新發布的A16 CPU,每秒實現近17 兆次運算。

負數是”1的補數+1“,所以減法可以變成加法;乘法實際上是連續的加法;除法實際上是連續的減法。只要有加法計算就可以實現所有的基礎運算。

半加器

想要做加法,先從一位的加法開始。

一位的加法有四種可能:

sum表示加法位,carry表示進位。

仔細觀察可以發現sum的輸入輸出和XOR一樣,carry的輸入輸出和AND一樣。所以用XOR和AND就可以做出半加器。

(提醒:下圖含有課程作業代碼,請仔細考慮是否閱讀)

下面是用Nand2tetris 課程提供的HDL語言寫出的半加器,只是把信號輸入兩個邏輯門,然後每個邏輯門各輸出一個信號。可以把a/b看成兩個輸入管腳,把sum/carry看成兩個輸出管腳。所以雖然沒有自己動手連結管線(工程太大),用硬體模擬的形式幫助理解背後的原理。

CHIP HalfAdder {
    IN a, b;    // 1-bit inputs
    OUT sum,    // Right bit of a + b 
        carry;  // Left bit of a + b
PARTS:
    Xor(a=a,b=b,out=sum);
    And(a=a,b=b,out=carry);
}

全加器

半加器只是加了兩個數字,但是遇到有進位的時候,還需要加上第三個進位的數字。全加器就是考慮了前兩個數字的進位,把進位當作第三個輸入管腳,把三個數字相加。

來源:From Nand to Tetris課程

實作起來也很簡單,就是把兩個半加器相連,先加兩個數字,用得出的結果再和進位相加。

CHIP FullAdder {
    IN a, b, c;  // 1-bit inputs
 c=carry bit
    OUT sum,     // Right bit of a + b + c
        carry;   // Left bit of a + b + c
    PARTS:
    // Put you code here:
    HalfAdder(a=a,b=b,sum=tmp1,carry=tmp2);
    HalfAdder(a=tmp1,b=c,sum=sum,carry=tmp3);
    Or(a=tmp2,b=tmp3,out=carry);
}

16位加法器

上述的全加器是1個bit的加法器,如果有很多的bit,可以把很多的全加器連在一起,形成多位元的加法器。

此加法器不考慮位元溢出(overflow),即最後一位進位的問題。

CHIP Add16 {
    IN a[16], b[16];
    OUT out[16];
    PARTS:
   // Put you code here:
   HalfAdder(a=a[0],b=b[0],sum=out[0],carry=temcarry0);
   FullAdder(a=a[1],b=b[1],c=temcarry0,sum=out[1],carry=temcarry1);
   FullAdder(a=a[2],b=b[2],c=temcarry1,sum=out[2],carry=temcarry2);
   FullAdder(a=a[3],b=b[3],c=temcarry2,sum=out[3],carry=temcarry3);
   FullAdder(a=a[4],b=b[4],c=temcarry3,sum=out[4],carry=temcarry4);
   FullAdder(a=a[5],b=b[5],c=temcarry4,sum=out[5],carry=temcarry5);
   FullAdder(a=a[6],b=b[6],c=temcarry5,sum=out[6],carry=temcarry6);
   FullAdder(a=a[7],b=b[7],c=temcarry6,sum=out[7],carry=temcarry7);
   FullAdder(a=a[8],b=b[8],c=temcarry7,sum=out[8],carry=temcarry8);
   FullAdder(a=a[9],b=b[9],c=temcarry8,sum=out[9],carry=temcarry9);
   FullAdder(a=a[10],b=b[10],c=temcarry9,sum=out[10],carry=temcarry10);
   FullAdder(a=a[11],b=b[11],c=temcarry10,sum=out[11],carry=temcarry11);
   FullAdder(a=a[12],b=b[12],c=temcarry11,sum=out[12],carry=temcarry12);
   FullAdder(a=a[13],b=b[13],c=temcarry12,sum=out[13],carry=temcarry13);
   FullAdder(a=a[14],b=b[14],c=temcarry13,sum=out[14],carry=temcarry14);
   FullAdder(a=a[15],b=b[15],c=temcarry14,sum=out[15],carry=temcarry15);
}

電腦如何計算-ALU

Arithmetic logic unit,簡稱ALU,算術邏輯單元是一種可對二進位整數執行算術運算或邏輯運算的芯片,是CPU中的計算核心。

ALU的示意圖:

來源:From Nand to Tetris課程

輸入:

  • 數據輸入x和y,為兩個16位元的二進制數字
  • 執行操作輸入(op code),為6個獨立的管腳(zx/nx/zy/ny/f/no)。

輸出:

  • 數據輸出out,輸出執行操作後的數據結果
  • 邏輯輸出zr/ng,對數據結果做邏輯判斷,如果數據輸出=0,zr為1,如果數據輸出為負值,ng為1。這兩個輸出為以後CPU執行程式語言的loop時使用JUMP。

Op code,操作輸入管腳

ALU的操作輸入管腳包含算數運算和邏輯運算。

算數運算:

  • add 比如f

邏輯運算:

  • AND 比如f,zx,zy
  • NOT 比如nx,ny,no

更多的op code請參考維基百科Arithmetic logic unit

神奇的是,這些op code組合在一起,就可以產生很多不同的結果。

來源:From Nand to Tetris課程

比如想要獲得x+y的結果,就要篩選op code: zx=0,nx=0,zy=0,ny=0,f=1,no=0.

也就是說輸入x和y,op code設置000010,得出的結果是x+y。

數據選擇器(MUX)

對x和y做了這麼多操作,怎麼讓電路給出正確的結果呢?

答案是數據選擇器(MUX),單位元MUX的介面如下:

* Multiplexor:
 * out = a if sel == 0
 *       b if sel == 1
 */
CHIP Mux {
    IN a, b, sel;
    OUT out;
    PARTS:
    // Put your code here:
}

當控制管腳為0時,選擇數據a,當控制管腳為1時選擇數據b。

ALU實作

可以看到下圖的ALU的作業代碼,使用了很多的16位元的MUX邏輯芯片來篩選數據。

CHIP ALU {
    IN  
        x[16], y[16],  // 16-bit inputs        
        zx, // zero the x input?
        nx, // negate the x input?
        zy, // zero the y input?
        ny, // negate the y input?
        f,  // compute out = x + y (if 1) or x & y (if 0)
        no; // negate the out output?
    OUT 
        out[16], // 16-bit output
        zr, // 1 if (out == 0), 0 otherwise
        ng; // 1 if (out < 0),  0 otherwise
    PARTS:
   // Put you code here:
        Mux16(a=x,b=false,sel=zx,out=x1);
        Not16(in=x1,out=notx1);
        Mux16(a=x1,b=notx1,sel=nx,out=x2);
        Mux16(a=y,b=false,sel=zy,out=y1);
        Not16(in=y1,out=noty1);
        Mux16(a=y1,b=noty1,sel=ny,out=y2);
        Add16(a=x2,b=y2,out=xAddy);
        And16(a=x2,b=y2,out=xAndy);
        Mux16(a=xAndy,b=xAddy,sel=f,out=result1);
        Not16(in=result1,out=result2);
        Mux16(a=result1,b=result2,sel=no,out[15]=tmp,out[0..7]=first8,out[8..15]=second8,out=out);
        Or8Way(in=first8,out=zr1);
        Or8Way(in=second8,out=zr2);
        Or(a=zr1,b=zr2,out=zr3);
        Not(in=zr3,out=zr);
        And(a=tmp,b=true,out=ng);
}

本文參考資料:

CODE(The Hidden Language of Computer Hardware and Software)

From Nand to Tetris 課程

Crash Course Compter Science視頻:

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